Многочлен x⁴-4x³+2x²+12x-15 разложить на линейные и квадратные множители с...

$x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2} +12x+15=0$

Раскладываем с помощью МНК (метода неопределенных коэффициентов)
Знаем, что любое уравнение четвертой степени раскладывается на два квадратных по принципу:

$( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)= = x^{4}+ x^{3}(c+a)+ x^{2} (d+a+b)+x(ab+bc)+db$

имеем систему
$\left \{ {{c+a=-4} \atop {d+a+b=2}}}\right. \left \{ {{ad+bc=12} \atop {bd=-15}} \right.$

рассмотрим методом подбора
в= -3 d=5
a=-4-c
подставим во второе

$(-4-c)*5-3c=12 -8c=32 c=-4 a=0$

проверим по второму уравнению
d+a+b= 5+0-3= 2

нам подходит. Тогда запишем в виде

$( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)= ( x^{2} -3)( x^{2} -4x+5)$

рассмотрим второй множитель

$x^{2} -4x+5=0 D=16-20 \ \textless \ 0$

корней нет

$(x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3})( x^{2} -4x+5)$

Многочлен x⁴-4x³+2x²+12x-15 разложить ** линейные и квадратные множители с...