X1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение: sqrt[5]{ x1x2x3x4x5} * (1/x1 +1/x2 +1/x3 +1/x4+ 1/x5)
Можно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для чисел 1/x₁, 1/x₂, 1/x₃, 1/x₄, 1/x₅. А именно, Отсюда выражение из условия всегда не меньше 5, и ясно, что 5 достигается при x₁=x₂=x₃=x₄=x₅.
![(1/x_1+1/x_2+1/x_3+1/x_4+1/x_5)/5\ge \sqrt[5]{1/(x_1x_2x_3x_4x_5)}.](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2Fx_1%2B1%2Fx_2%2B1%2Fx_3%2B1%2Fx_4%2B1%2Fx_5%29%2F5%5Cge+%5Csqrt%5B5%5D%7B1%2F%28x_1x_2x_3x_4x_5%29%7D. "(1/x_1+1/x_2+1/x_3+1/x_4+1/x_5)/5\ge \sqrt[5]{1/(x_1x_2x_3x_4x_5)}.")
Отсюда выражение из условия всегда не меньше 5, и ясно, что 5 достигается при x₁=x₂=x₃=x₄=x₅.