Найти общее решение линейного однородного диф. ур. с постоянными коэффициентами ...

0 голосов
48 просмотров

Найти общее решение линейного однородного диф. ур. с постоянными коэффициентами
3.y'''+2y''-3y'=0
4.y'''+8y''+5y'-50y=0
5.3y'''-27y=0

Математика (20 баллов) | 48 просмотров
0

Желательно полное решение спасибо заранее

оставил комментарий (20 баллов)
Дан 1 ответ
0 голосов

Решите задачу:

y'''+2y''-3y'=0\\ \lambda^3+2\lambda^2-3\lambda=0\\ \lambda(\lambda+3)(\lambda-1)=0\\ \lambda\in\{-3,0,1\}\\ y(x)=C_1e^{-3x}+C_2e^x+C_3

y'''+8y''+5y'-50y=0\\ \lambda^3+8\lambda^2+5\lambda-50=0\\ (\lambda-2)(\lambda+5)(\lambda+5)=0\\ y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{-5x}+C_3xe^{-5x}

3y'''-27y=0\\ 3\lambda^3=27\\ \lambda^3=9\\ \lambda=\sqrt[3]{9}e^{i\frac{2\pi}{3}k}\ :\ k\in\{0,1,2\}\\ y(x)=e^{\sqrt[3]{9}x}\left(C_1+C_2\cos(\frac{2\pi}{3}x)+C_3\sin(\frac{2\pi}{3}x)\right)
(2.2k баллов)
0

спасибо за отклик, мне трудновато такое решить но не понимаю, тут нет замены. тут какие то другие значения, это какой метод решения вообще?

оставил комментарий (20 баллов)
0

Из алгебры: любой вектор в n-мерном пространстве имеет уникальное разложение по базису. С этими диффурами то же самое: теория доказывает что решения линейного, однородного уравнения высшего порядка является векторным пространством, базис которого состоит из собственных функций вида y(x)=e^лямбда*x). Лямбды - это корни характеристического многочлена, уравнению соответствующего.

оставил комментарий (2.2k баллов)
0

Опускаем теорию и, в сухом остатке, получаем: для решения подобного уравнения нужно 1) найти корни характеристического многочлена 2) построить базис пространства 3) представить общее решение как линейную комбинацию базис-векторов.

оставил комментарий (2.2k баллов)
0

Разбираю первый пример: вторая строка - характеристический многочлен, в третьей и четвёртой строке нахожу его корни: -3, 0, 1. Из корней получаю базис: {e^(-3x), e^(0x), e^(1x)}. Любое решение - линейная комбинация этих векторов, потому общее решение можно записать как y(x)=C1*e^(-3x)+C2*e^(0x)+C3*e^(2x).

оставил комментарий (2.2k баллов)
0

Осталась пара ньюансов: 1) если несколько корней совпадают (задача 2), тогда в базис попадают (для примера возьму 4 одинаковых корня): e^(лямбда*x), x*e^(лямбда*x), x^2*e^(лямбда*x) и x^3*e^(лямбда*x). 2) если корни комплексные (задача 3), то в базис идут e^(ax)*cos(bx), e^(ax)sin(bx) где a+bi и a-bi - сопряжённые комплексные корни. ----------------------------------- Естественно, для всего вышесказанного есть математические доказательства. Если интересует теория, или что не ясно - пиши!

оставил комментарий (2.2k баллов)
0

Спасибо огромное! теперь более менее мне стало ясно
очень помогли, благодарю!

оставил комментарий (20 баллов)
0

Не вопрос, обращайся!

оставил комментарий (2.2k баллов)
Похожие задачи