2x²yy'+y²=2
2x²yy'=2-y²
2x² = (2-y²)/yy'
y' = dy/dx
2x² = (2-y²)/(y*dy/dx)
2x² = dx*(2-y²)/(y*dy)
dx/2x² = y*dy/(2-y²)
проинтегрируем обе части
∫dx/2x² = ∫y*dy/(2-y²)
левая часть:
∫dx/2x² = 1/2∫dx/x² = 1/2*(-1)*1/x = -1/2 * (1/х) +С
Правая часть:
∫y*dy/(2-y²)
Пусть 2-y² = t => dt = -2y*dy => y*dy = -dt/2
Получается ∫y*dy/(2-y²) => -1/2 *∫dt/t = -1/2 * Ln(t) = -1/2 * Ln(2-y²)
вернем обе части
-1/2 * (1/х) + С = -1/2 * Ln(2-y²)
сократим -1/2
1/x + С= ln(2-y²)
Это, в принципе, и есть общее решение, но мы можем пойти дальше
"Проэкспоненциируем" обе части
e^(1/x+C) = e^(ln(2-y²))
e^ln(a) = a - основное правило логарифма
так что
e^(1/x+C) = 2-y²
y² = 2-e^(1/x+C)
y=√2-e^(1/x+C)