Сколько существует положительных n таких, что [n]:n=7:8?

Ни одного.
[n] - это целая часть числа n, то есть целое число.
Из пропорции оно равно 7k, причем k - целое.
Тогда n = 8k, то есть тоже целое число.
Но тогда [n] равнялось бы n, то есть 8k.
Нет таких чисел.