Доказать что из равенства 1\а+1\в+1\с=1\(а+в+с) следует равенство...

Question

Доказать что из равенства 1\а+1\в+1\с=1\(а+в+с) следует равенство 1\а^3+1\в^3+1\с^3=1\(а+в+с)^3

Answer 1

Обозначим x=1/a, y=1/b, z=1/c, а также A=x+y+z, B=xy+yz+xz; C=xyz.
Тогда надо доказать, что из A=C/B следует x³+y³+z³=(C/B)³.
Легко проверить простым раскрытием скобок, что для любых x,y,z верно тождество x³+y³+z³=A³+3(C-AB).Т.к. C=AB, то x³+y³+z³=A³=(C/B)³.

Comments

Замечательно, очень благодарна!

---

Распишите пожалуйста процесс раскрытия скобок

---

Нет, вам все-таки придется самостоятельно раскрыть скобки в выражении (x+y+z)^3. Т.к., считаю, что человек, которому нужно решение подобной задачи, должен уметь делать это самостоятельно.

---

Конечно Вы правы, поэтому и настойчиво пытаюсь разобраться. Посмотрите пож. мой ход раскрытия скобок. Что не так?

---

Конечно Вы правы, поэтому и настойчиво пытаюсь разобраться. Посмотрите пож. мой ход раскрытия скобок. Что не так? Раскрываем скобки, т.е.
x³+y³+z³=(C/B)³= (х^3 у^3 z^3)/〖(xy+yz+xz)〗^3 = (х^3 у^3 z^3)/(x^3 y^3+y^3 z^3+x^3 z^3+3zx^2 y^3+3zy^2 x^3+3xz^2 y^3+3yz^2 x^3+3xy^2 z^3+3yx^2 z^3+6x^2 y^2 z^2 )=
=(х^3 у^3 z^3)/(x^3 y^3+y^3 z^3+x^3 z^3+3xyz(xy^2+yx^2+zy^2+zx^2+yz^2+xz^2+2xyz))=(х^3 у^3 z^3)/(x^3 y^3+y^3 z^3+x^3 z^3+3xyz((x+y+z)(xy+yz+xz))) ??????
На этом я остановилась.

---

Не могу понять как это выражение можно преобразовать к виду
A³+3(C-AB) или 〖(x+y+z)〗^3+3(xyz- (x+y+z)( xy+yz+xz).
Направте пожалуйста на правильную мысль.

---

Раскрываем скобки пользуясь определением А, B, C:
A^3=(x+y+z)^3=
=x^3+3*x^2*y+3*x^2*z+3*x*y^2+6*x*y*z+3*x*z^2+y^3+3*y^2*z+3*y*z^2+z^3; Дальше
AB=(x+y+z)*(x*y+y*z+x*z)=
=x^2*y+x^2*z+x*y^2+3*x*y*z+x*z^2+y^2*z+y*z^2
Подставляем это в выражение A³+3(C-AB). После приведения подобных все скоращается и остается только x³+y³+z³.

---

Т.е. для любых х,у,z мы доказали тождество x³+y³+z³=A³+3(C-AB).
То, что C=AB - это дано по условию, т.к. это равносильно исходному условию 1\а+1\в+1\с=1\(а+в+с).

---

Вы зачем-то пустились в расрытие скобок в самом сложном выражении (C/B)³. У вас получилось монструозная формула, возможно и правильная, но чтобы доказать что она равна x³+y³+z³, вам надо в каком-то месте воспользоваться тем, что A=C/B, что совершенно не ясно как увидеть. Без испоьзования A=C/B равенство неверно. Я предалагаю не так. Вначале ЛЮБЫХ х,у,z доказываем тождество x³+y³+z³=A³+3(C-AB). А затем просто подставляем в него условие A=C/B. Собственно, именно это и написано в решении.

---

Огромное Вам спасибо