Найдите наибольшее значение функции y=x³+2x²+x+3 на отрезке [−3;−0,5].

$y=x^3+2x^2+x+3$

1.  Найдём производную функции:

$y'=3x^2+4x+1$

2.  Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума функции.

$3x^2+4x+1=0 \\ D=16-4*3=16-12=4 \\ \\ x_1= \frac{-4+2}{6} = \frac{-2}{6} =- \frac{1}{3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_2= \frac{-4-2}{6} = \frac{-6}{6} =-1$

3.  Смотрим, какой у нас промежуток $[-3;-0,5]$ ,   входят ли в него найденные точки. Таким образом точка $x=- \frac{1}{3}$ лежит правее точки $x=-0,5$ , поэтому её не рассматриваем.

4. Подставляем точки    $-3,~-1;~-0,5$ вместо X в самое первое начальное уравнение и смотрим какие значения принимают Y, выделяем наибольшее и наименьшее.

$y(-3)=(-3)^3+2\cdot (-3)^2-3+3=-27+18=-9 \\ y(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2-1+3=-1+2+2=3 \\ y(-0,5)=(-0,5)^3+2\cdot(-0,5)^2-0,5+3=-0,125+0,5+2,5= \\ =2,875$

Ответ: $y$ наим. $=-9$ ,     $y$ наиб. $=3$

Найдите наибольшее значение функции y=x³+2x²+x+3 ** отрезке [−3;−0,5].