Если я правильно поняла;
Равнобокая трапеция. Вписана окружность радиусом 12 см. Одна из боковых сторон в точке касания делится на два отрезка. Больший равен 16 см. Найти площадь трапеции.
Обозначим трапецию АВСД.
О - центр окружности.
М - точка касания на боковой стороне трапеции.
Пусть АМ=16 см
Обозначим буквой Р точку касания верхнего основания, а буквой К - точку касания нижнего основания.
Известно, что в точке касания радиус перпендикулярен отрезку.
1) Рассмотрим ∆МОА. Он прямоугольный, поскольку ОМ перпендикулярен АВ.
ОМ=12 см, АМ=16 см
И рассмотрим ∆КОА
∆МОА=∆КОА, так как оба треугольника прямоугольные, у них равны катеты ОМ=ОК и у них общая гипотенуза ОА.
Следовательно равны и другие катеты, то есть
АК=АМ=16 см
Но так как трапеция равнобокая, то все это справедливо и для стороны СД.
Следовательно, АК=КД=16 см,
АД=АК+КД= 16+16 = 32 см
2) Еще раз рассмотрим ∆МОА.
АО² = МО² + МА²
АО² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400 см²
АО = √400 = 20 см
ОМ:АМ:ОА = 12:16:20=3:4:5
sin МАО = МО/АО = 12/20 = 0,6
cos МАО = АМ/АО = 16/20=0,8
<ВАД = <МАО + <ОАД = 2•(<МАО)<br>Но sin 2α = 2 sin α• cos α
Следовательно,
sin <ВАД = sin 2(<МАО) = 2•0,6•0,8=0,96<br>
3) Опустим высоту из точки В на основание АД в точку Т.
ВТ = КР = ОК + ОР = 12•2 = 24 см - диаметр окружности, поскольку, ВТ и КР параллельны.
Рассмотрим ∆ВАТ. Он прямоугольный, катет ВАТ=24 см
sin <ВАД =0,96<br>sin <ВАД = ВТ/АВ<br>Следовательно, АВ = ВТ/sin <ВАД<br>АВ = 24/0,96 = 25 см- боковая сторона трапеции.
4) АВ = АМ + МВ
Следовательно МВ = АВ - АМ = 25 - 16 = 9 см
Рассмотрим ∆МОВ. Он прямоугольный, поскольку ОМ перпендикулярен АВ.
ОМ=12 см, МВ=9 см
И рассмотрим ∆РОВ
∆МОВ=∆РОВ, так как оба треугольника прямоугольные, у них равны катеты ОМ=ОР и у них общая гипотенуза ОВ.
Следовательно равны и другие катеты, то есть
ВР=ВМ=9 см
Но так как трапеция равнобокая, то все это справедливо и для стороны СД.
Следовательно, ВР=РД= 9 см,
ВС=ВР+РС= 9+9 = 18 см.
5) Итак, мы имеем длины обоих оснований равнобокой трапеции и высоту
АД = 32 см
ВС = 18 см
РК = 24 см
Площадь трапеции:
S = (a + b)·h/2
Площадь трапеции: S = h(a+b)/2
S = РК(АД+ВС)/2 = 24(32+18)/2 = 12•50 = 600 см²