Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC...

Question

35 просмотров

Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти соотношения между сторонами трапеции.

Геометрия totalkol_zn (92 баллов) 05 Апр, 18 | 35 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Если не ошибаюсь , то решение примерно такое
Заметим что углы $\angle BCA= \angle CAD$ как на крест лежащие
Тогда как $S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD} \\ \angle BCA=y\\ \frac{BC*AC*siny}{2} + \frac{AD*AC*siny}{2} = S_{ABCD}$
Обозначим так же радиусы как $9x;4x;6x$ , не обобщая общности , можно взять $9;4;6$
Так как в трапеция вписана окружность $AB+CD=BC+AD$
$AC*siny(BC+AD) = 18*(BC+AD)\\ AC*siny =18\\$
С другой стороны площади треугольников через радиусы
$S_{ABC}=(AB+BC+AC)*2 \\ S_{ACD}=(CD+AD+AC)*3$
Откуда
   $(AB+BC+AC)*2=9BC\\ (CD+AD+AC)*3=9AD$
   $AC=3.5*BC-AB \\ AC=2*AD-CD$

Положим что $BC=x; AB=y ; AD=z; CD=n \\\\$
Если выразить углы , из теоремы косинусов , соответственно из тех же треугольников , получим
   $cosBCA = \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y} \\ cosBCA = \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z}$
Приравнивая
   $\frac{53*x-28*y}{28*x-8*y}= \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z } \\ x+z= y+n \\, 3.5*x-y=2*z-n$
получим
   $x=\frac{4n}{5}\\ y=\frac{17*n}{15} \\ z=\frac{4n}{3}\\ n \neq 0$
Так как $cosBCA=\frac{4}{5}\\ sinBCA=\frac{3}{5}\\ AC= 18*\frac{5}{3} = 30$
Откуда $n=18$

То есть стороны равны
   $AB=\frac{17*18}{15} = \frac{102}{5} \\ BC=\frac{4*18}{5} = \frac{72}{5}\\ AD=24 \\ CD=18$

Матов_zn (224k баллов) 05 Апр, 18