Решите тригонометрическое уравнение.

Это уравнение можно записать в виде
$(|\sin x|-1/\sqrt{2})^2+\sqrt{2}\left|\sin x\right|\cdot(1+\cos(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}))=0.$
Т.к квадрат неотрицателен, а косинус всегда больше или равен -1, то левая часть - это сумма двух неотрицательных слагаемых. Она может быть равна 0, только когда каждое слагаемое равно 0, т.е. одновременно должно выполняться $\sin x=\pm 1/\sqrt{2}$ и $\cos(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8})=-1.$ Это будет, когда $x=\pi/4+\pi k/2$ и $x=13\pi/20+4\pi n/5.$ Пересечение этих множеств находим из условия $\pi/4+\pi k/2=13\pi/20+4\pi n/5$ , что равносильно $5k-8n=4,$ откуда k=4+8m, n=2+5m. Таким образом ответ $x\in\{\frac{9\pi}{4}+4\pi m\}.$