Пусть Т(х) – сумма всех простых чисел, меньших х. Найдите все корни уравнения...

0 голосов
43 просмотров

Пусть Т(х) – сумма всех простых чисел, меньших х. Найдите все корни уравнения Т(х)=х2(квадрат)/2 ?


Алгебра (26 баллов) | 43 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов

Т(х) -целое число

х2(квадрат)/2  что бы было целым х должно быть кратно 2, а единственное четное простое число это 2

соответственно х=2 проверяем

2=4/2 - верно

ответ: х=2

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.8k баллов)
0 голосов

Пусть большее простое число из T(x) равно n.Сравним числа:n^2 и 2T(x),то есть квадрат наибольшего простого числа и удвоенную сумму простых чисел до n:

Очевидно,что все простые числа,кроме 2 нечетные,а значит T(x) меньше суммы двойки и натуральных нечетных чисел от 1 до n(так как не все нечетные числа являются простыми).

Рассмотрим данную сумму,члены которой,кроме двойки образуют арифметическую прогрессию.

S=\frac{1+n}{2}*\frac{n+1}{2}+2=\frac{n^2+2n+9}{4}

Сравним 2S и n^2

\frac{n^2+2n+9}{2}\ \ ?\ \ n^2

n^2+2n+9\ \ ?\ \ 2n^2

0\ \ ?\ \ n^2-2n-9

Правая часть больше левой(нуля) при:

image1+\sqrt{10}" alt="n>1+\sqrt{10}" align="absmiddle" class="latex-formula">

image4" alt="n>4" align="absmiddle" class="latex-formula">

А так как S>T(X) и n^2>2S,то n^2>2T(x)

Значит и x^2>2T(x) при n,указанном выше.

Рассмотрим оставшиеся 2 варианта:

n=2 n=3

n=2

2=\frac{x^2}{2}

x=2

n=3

2+3=\frac{x^2}{2}

x=\sqrt{10}

Ответ:x_1=2;x_2=\sqrt{10}

(2.7k баллов)