Взять интеграл от корня из 1-4x² ∫√(1-4x²)dx

Тут я так понимаю нужно методом подстановки.

Нужно сделать замену аргумента так, чтобы выражение упростилось

подставим вместо x=sint/2

$\int\sqrt{(1-4x^2)}dx\\ x=\frac{sint}{2}\\$

при этом обе части дифференцируются

$dx=\frac{cost}{2}dt$

теперь подставляем все это: вместо x = sint/2, вместо dx = cost/2 dt

$\int\sqrt{(1-4x^2)}dx\\ \int\sqrt{(1-4(\frac{sint}{2})^2)} \frac{cost}{2}dt=\int\sqrt{(1-sin^2t)}\frac{cost}{2}dt=\\ =\int\sqrt{cos^2t}\frac{cost}{2}dt=\int cost*\frac{cost}{2}dt=\int \frac{cos^2t}{2} dt$

Теперь раскладываем cos^2x формулой понижения степени и тогда уже сможем проинтегрировать.

$\int \frac{cos^2t}{2} dt =\int \frac{\frac{1}{2}(1+cos2t)}{2} dt =(\frac{1}{4}+\frac{cos2t}{4})dt=\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{4*2}=\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{8}$

Теперь вместо t надо подставить то, что мы заменяли

$x=\frac{sint}{2}\\ 2x=sint\\ t=arcsin2x\\$

подставляем это в полученное нами выражение

$\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{8}+C\\ \frac{arcsin2x}{4}+\frac{sin2(arcsin2x)}{8}+C=\frac{arcsin2x}{4}+\frac{4x\sqrt{4-x^2}}{8}+C=\\= \frac{arcsin2x}{4}+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C$