Графит использовать можно, его и используют в качестве анода, для катода обычно используют сталь.
Вот уравнение электролиза:
2NaCl + 2H2O ⇒ 2NaOH + H2↑ + Cl2↑
На катоде выделяется молекулярный водород и в прикатодном пространстве образуется едкий натр. На аноде выделяется газообразный молекулярный хлор.
Иногда (редко) используют жидкий ртутный катод. Тогда из-за амальгамирования натрия и сильного перенапряжения водорода а катодном процессе на катоде в основном выделяется натрий.
Подчёркнутый текст выходит за пределы школьного курса химии.