Замена 2^x = y > 0 при любом х
y^5 - y^4 - y^3 + y^2 + y = 0
y(y^4 - y^3 - y^2 + y + 1) = 0
y1 = 2^x = 0 - решений нет
y^4 - y^3 - y^2 + y + 1 = 0
Уравнение 4 степени. Старший коэфф. > 0, ветви направлены вверх.
Чтобы понять, есть ли у него корни, найдем его точки минимума.
4y^3 - 3y^2 - 2y + 1 = 0
4y^3 - 4y^2 + y^2 - y - y + 1 = 0
(y - 1)(4y^2 + y - 1) = 0
y1 = 1; f(y1) = 1^4 - 1^3 - 1^2 + 1 + 1 = 1
D = 1 + 4*4*1 = 17
y2 = (-1 - √17)/8 ~ -0,64; f(y2) ~ (-0,64)^4 - (-0,64)^3 - (-0,64)^2 +
(-0,64) + 1 ~ 0,38
y3 = (-1 + √17)/8 ~ 0,39; f(y3) ~ (0,39)^4 -
(0,39)^3 - (0,39)^2 +
(0,39) + 1 ~ 1,2
Во всех 3 экстремумах значение функции положительно, значит, корней нет.
Ответ: решений нет.