НЕОПРИДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Применим универсальную тригонометрическую подстановку
$t=tg(\frac{x}{2}); \ \ arctg \, t=\frac{x}{2}; \ \ 2arctg \, t=x; \ \ \ \frac{2}{1+t^2} \, dt=dx; \\ \\ \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}, \ \ \cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \\ \int {\frac{1}{\frac{8t+3-3t^2}{1+t^2}+5}}}} \cdot \frac{2}{1+t^2} \, dt=2\int {\frac{dt}{8t +3 -3t^2 +5+5t^2}}=2\int {\frac{dt}{2t^2 + 8t +8}}=\int {\frac{dt}{t^2 + 4t +4}}= \\ \\ = \int {\frac{dt}{(t+2)^2}} = -\frac{1}{t+2}+C=-\frac{1}{tg (\frac{x}{2})+2}+C$