Докажите, что в любом наборе из 52 целых чисел всегда найдутся такие два числа, что их...

Question

Докажите, что в любом наборе из 52 целых чисел всегда найдутся такие два числа,
что их сумма или разность делится на 100.

Comments

числа по порядку идут? иначе можно придумать такой набор из 52 единиц

Answer 1

Если среди этих чисел есть противоположные, то их сложим, получим 0, и он всегда делится на 100. Если среди них есть одинаковые, то вычтем их и тоже получим 0, который делится на 100. Если взаимно противположных и одинаковых нет, объединим это множество  чисел с множеством противоположных чисел , они будут отличаться от тех, что есть у всех кроме 0 (если он есть). Получится не меньше 51+51+1=103 числа. Рассмотрим остатки этих 103-ех чисел при делении на 100. Т.к. 103 больше 100, то есть два числа с одинаковым остатком, значит их разность делится на 100. А их разность это, либо разность каких-то исходных, либо их сумма (быть может со знаком минус)

Comments

Большое спасибо!

Answer 2

Мысленно представим множества — . Соотносим с множеством остаток числа от деления его на 100. Как минимум два числа из 52 будут вместе присутствовать в некотором множестве.

Comments

Что-то непонятно. Как мы соотносим остаток числа с этим множеством? Что значит множество [1-99]? это множество из одного числа -98? Или из всех чисел от 1 до 99? Вот например получился у одного числа остаток 2. В какое множество мы его отнесем?

---

Если остаток равен 1 или 99, то относим его к этому множеству. Если остаток 2, то 2 -98. Два числа из 52 (и 51 кстати тоже) туда попадут. А в сумме будет 100 (1+99, 2+98)

---

Ответ Maxion'а был более краток и понятен, хотя вам тоже спасибо!