В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СМ и AN. Известно, что AC=2, а площадь круга, описанного около треугольника MBN, равна . Найдите угол между высотой CM и стороной ВС
Пусть Д — точка пересечения высот СМ и АN ΔABC. Из точек М и N отрезок BД виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BД (это и есть окружность, описанная около ΔМВN с радиусом R). Площадь окружности S=πR², откуда R²=S/π=π/3π=1/3 R=1/√3. Отрезок AС виден из точек М и N под прямым углом, значит точки М и N лежат на окружности с диаметром AС. По условию Тогда Значит ΔCBА и ΔMBN подобны по 2 углам, тогда МВ/СВ=ВN/ВА=МN/АС. Из прямоугольного ΔВАN найдем ВN/ВА=cos B. МN/АС=cos B MN=2cos B. Также по теореме синусов MN=2R*sin B=2sin B/√3 Приравниваем 2cos B=2sin B/√3 sin B/cos B=√3 tg B=√3 Значит <ВСМ=180-90-60=30°<br>Ответ: 30°
. Найдите угол между высотой CM и стороной ВС