Help me please)найти площадь фигуры ограниченной линиями x=√(y-1), x=0, y=5

1 способ. Задана криволинейная трапеция относительно оси ОУ.Поэтому:

$S=\int _1^5\sqrt{y-1}dy=\frac{2(y-1)^{3/2}}{3}|_1^5=\frac{2}{3}(4^{3/2}-0)=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$

2 способ. Если область рассматривать как разность двух криволин. трапеций относительно оси ОХ, то

$S=\int _0^2(5-(x^2+1))dx=\int _0^2(4-x^2)dx=(4x-\frac{x^3}{3})_0^2=8-\frac{8}{3}=\\\\=\frac{24-8}{3}=\frac{16}{3}$

P.S.   $x=\sqrt{y-1}\; \; \to$

$x^2=y-1\\\\y=x^2+1$

Парабола у=х²+1 имеет вершину в точке (0,1). Рассматривается правая ветвь,
т.к.   $x=\sqrt{y-1}\ \textgreater \ 0$ .Точки пересечения параболы с
прямой у=5:
                     $x=\sqrt{5-1}=\sqrt4=2$ .

x=0 - ось ОУ.