Помогите решить предел

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Ладно. Кто как его брал не знаю. Поясню, как получилось у меня.
$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{ \sqrt{x+1}- \sqrt{x} } }{x+1}$ (1)
Глядя на этот предел кажется мне, что предел числителя будет конечен.
Попробуем это подтвердить (опровергнуть.) Прежде всего перейдем к пределу в показателе. Т.е Если в выражении
$\lim_{x \to x_{0}} 2^{f(x) }$ , a не зависит от x и
существует конечный предел функции f(x) в точке x0, то верно:
$\lim_{x \to x_{0}} a^{f(x) }= a^{\lim_{x \to x_{0}} f(x) }$

Хорошо, значит нам нужно найти предел:
$\lim_{x \to \infty} ( \sqrt{x+1}- \sqrt{x} )$ (2)

$\lim_{x \to \infty} ( \sqrt{x+1}- \sqrt{x} )=\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x}( \sqrt{1+ \frac{1}{x} }- 1 ))$ (3)
Введем новую переменную
$t= \sqrt{x}$
Тогда если x⇒∞ то и t⇒∞, а наш предел (3) принимает вид:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x}( \sqrt{1+ \frac{1}{x} }- 1 ))=\lim_{t \to \infty} (t( \sqrt{1+ \frac{1}{t^2} }- 1 ))$ (4)
Смотрим далее соотношение:
$\sqrt{1+ \frac{1}{t^2}$ на основании формулы бинома Ньютона для дробной степени:
$(1+ \alpha )^{1/n}=1+ \frac{ \alpha }{n} +o( \alpha )$ где $\alpha \ \textless \ 1$ (а у нас при $t \to \infty$ $\frac{1}{t^2} \to 0$ )
заменяем эквивалентным выражением
$\sqrt{1+ \frac{1}{t^2}}=1+ \frac{1}{2t^2}$

Тогда (4) преобразуется к виду:
$\lim_{t \to \infty} (t( \sqrt{1+ \frac{1}{t^2} }- 1 ))=\lim_{t \to \infty} (t*( 1+ \frac{1}{2t^2}+o( \frac{1}{t^2} )- 1 ))=$
$\lim_{t \to \infty} (t*( 1+ \frac{1}{2t^2}+o( \frac{1}{t^2} )- 1 ))=\lim_{t \to \infty} (t*( \frac{1}{2t^2}))=$ $=\lim_{t \to \infty} ( \frac{t}{2t^2})=\lim_{t \to \infty} ( \frac{1}{2t})=0$
Т.е предел (4) (показатель степени) стремится к 0. Значит числитель дроби стремится к 1. А предел знаменателя ∞. т.е. получаем предел вида:
$\frac{1}{\infty}$ , ну а это 0.
Таким образом исходный предел (1) равен нулю:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{ \sqrt{x+1}- \sqrt{x} } }{x+1} =0$

Exponena_zn (13.2k баллов) 03 Апр, 18