Сумма двух натуральных чисел, одно из которах при делении ** 3 даёт остаток 1, а другое...

Question

Сумма двух натуральных чисел, одно из которах при делении на 3 даёт остаток 1, а другое при делении на 5 даёт остаток 3, равна 69. найдите эти числа

Answer 1

Первое число имеет вид 3n+1, а второе 5k+3. Тогда по условию
(3n+1)+(5k+3)=3n+5k+4=69, т.е. 3n+5k=65. Отсюда 3n=5(13-k). Т.е. n обязано делиться на 5, т.е. n=5m при некотором целом m. Тогда 15m+5k=65, т.е. k=13-3m. Тогда исходные числа равны 3*5m+1=15m+1 и 5*(13-3m)+3=68-15m. Эти числа будут натуральными при условии m=0,1,2,3,4. Таким образом, задаче удовлетворяют пять пар чисел: (1, 68), (16, 53), (31, 38), (46,23), (61, 8).