Докажите, что корень из 3 не является рациональным числом.

Предположим обратное, то есть $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ , где $\frac{m}{n}$ - несократимая дробь, $m \in \mathbf{Z}, n \in \mathbf{N}$ .
Тогда $3 = \frac{m^2}{n^2} \Leftrightarrow m^2 = 3n^2$ . Значит m делится на 3, т.е. $m = 3k$ , где $k \in \mathbf{Z}$ . Подставляя в выражение $m^2 = 3n^2$ , будем иметь:
$(3k)^2 = 3n^2 \Leftrightarrow 9k^2 = 3n^2 \Leftrightarrow n^2 = 3k^2$ . Значит и n делится на 3. Но тогда дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 3, что невозможно по предположению - $\frac{m}{n}$ есть несократимая дробь. Полученное противоречие означает, что $\sqrt{3}$ - иррациональное число, что и требовалось доказать.