Помогите с решением,задание во вложениях)

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Выражение 2^(5-x) равносильно 2^5 / 2^x. Заменим 2^x = y
Выражение в скобках и всё выражение приводим к общему знаменателю: y²(y²-12y+32)≤0
Отсюда первое решение: y₁ ≤ 0, но его отбрасываем, так как 2^x не может быть равно 0 или отрицательным по свойству степеней.
Выражение в скобках приравняем нулю:
y²-12y+32 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-12)^2-4*1*32=144-4*32=144-128=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁=(√16-(-12))/(2*1)=(4-(-12))/2=(4+12)/2=16/2=8;
y₂=(-√16-(-12))/(2*1)=(-4-(-12))/2=(-4+12)/2=8/2=4.
Возвращаем исходную неизвестную:
2^x = 8 = 2³
x₁ = 3
2^x = 4 = 2²
x₂ = 2.
Для выбора области значений, удовлетворяющих заданию, находим значения функции вблизи найденных точек:
2⁴(2⁴+2^(5-4)-12) = 16(16+2-12) = 96 - это больше 0.
Аналогично решаем левее точки 2.
Ответ 2 ≤ x ≤ 3.

dnepr1_zn (309k баллов) 03 Апр, 18

fxismath_zn · Answer 1 · 2018-04-03T19:27:26+0000

Решим задание методом интервалов.
2^x не влияет на наше неравенство, так как при любом x 2^x больше 0.
Остаётся решить неравенство:
$2^x + 2^{5-x}-12 \leq 0 \\ 2^x + \frac{2^5}{2^x} -12 \leq 0 \\ 2^{2x} + 32 -12*2^x \leq 0 \\ 2^{2x} - 12*2^x + 32 \leq 0$
Пусть $2^x = t$

Тогда:
$t^2-12t+32 \leq 0 \\ D = 144 - 128 = 4^2 \\ t_{1} = 8 \\ t_{2} = 4$

Так как наше неравенство меньше 0, берём внутренний промежуток:
$t \geq 4 \\ t \leq 8$

Вернёмся к замене:
$2^x \geq 4 \\ 2^x \leq 8 \\ \\ x \geq 2 \\ x \leq 3 \\ x \in [2;3]$