Первый член прогрессии равен 4,
Третий равен 4q².
Пятый равен 4q⁴.
По заданию разность третьего и пятого членов равна 32/81:
4q² - 4q⁴ = 32 / 81.
Сократим на 4:
q² - q⁴ - (8/81) = 0.
Получили биквадратное уравнение. Примем q² = z.
Тогда получаем квадратное уравнение:
-z² + z - (8/81) = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно z:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*(-1)*(-8/81)=1-4*(-1)*(-(8/81))=1-(-4)*(-(8/81))=1-(-4*(-(8/81)))=1-(-(-4*(8/81)))=1-(-(-(32/81)))=1-(32/81 )= 49/81 ≈ 0.604938271604938;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
z₁=(√(49/81)-1)/(2*(-1))=((7/9)-1)/(2*(-1))=-(2/9)/(2*(-1))=-(2/9)/(-2)=-(-(2/9)/2) = -(-(1/9)) =1/9~~0.111111111111111;
z₂=(-√(49/81)-1)/(2*(-1))=(-(7/9)-1)/(2*(-1))=-(16/9)/(2*(-1))=-(16/9)/(-2)=-(-(16/9)/2) = -(-(8/9)) = 8/9 ≈ 0.888888888888889.
Отсюда получаем 2 значения коэффициента q = +-√z.
(отрицательные значения отбрасываем - по условию задачи).
q₁ = √(1/9) = 1/3.
q₂ = √(8/9) = √8/3 = 2√2/3.
Тогда сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равна:S₁ = b₁ / (1 - q) = 4 / (1 - (1/3)) = 4 / (2/3) = 6.
S₂ = 4 / (1 - (2√2/3) = 4 / (1- 0.942809) =
69.94113.