1). (2х+4) / (х-2) = 10 - домножим обе части уравнения на (х-2), получим:
(2х+4) = 10(х-2)
2х+4 = 10х - 20
10х-2х = 20+4
8х = 24
х=24/8 = 3
Однако надо, чтобы (х-2)≠0, т.к это знаменатеоь, а на ноль делить нельзя.
Следователбно:
х=3: (3-2)≠0 - верно
Проверяем:
(2*3+4) / (3-2) = 10 / 1 = 10
Ответ: при х =3.
2). пусть х это числитель искомой дроби, тогда знаменатель этой дроби равен (х+1)
Составляем уравнение:
(х+2) / ((х+1)+3) = х / (х+1)
(х+2) / (х+4) = х / (х+1)
(х+2)(х+1) = х(х+4)
х²+2х+х+2=х²+4х
х²-х²+2х+х+2-4х=0
-х=-2
х=2 - это числитель искомой дроби.
Найдем знаменатель искомой дроби: 2+1 = 3
Следователбно, у нас получилась дробь: 2/3.
Проверка:
(2+2) / (3+3) = 4/9 =2/3
Ответ: искомая дробь 2/3.
3). Составляем уравнение:
1/у - у/(у+1) = 1/у * у/(у+1)
1/у - у/(у+1) = 1/(у+1)
1/у - у/(у+1) -1/(у+1) =0
1/у -((у+1)/(у+1)) = 0
1/у - 1 =0
1/у = 1
у = 1
Проверка:
разность: 1/у - у/(у+1) = 1 - 1/(1+1) = 1- 1/2 = 1/2
произведение: 1/у * у/(у+1) = 1/1 * 1/(1+1) = 1* 1/2 = 1/2
разность =произведению = 1/2
Ответ: при у=1.
4).
а). (х²+2х)/(х+4) = 8/(х+4)
Домножим обе части уравнений на (х+4):
(х²+2х) = 8
х²+2х-8=0
D = 4 + 4*8 = 4+32=36 >0 ⇒ 2 корня
х₁= (-2+6)/2 =4/2 =2
х₂= (-2-6)/2 = -8/2 = -4
Однако надо, чтобы (х+4)≠0, т.к это знаменатеоь, а на ноль делить нельзя.
Следователбно:
х=2: (2+4)≠0 - верно
х=-4: (-4+4)=0 ⇒ х=-4 - не является корнем уравннеия и его не берем
Проверка:
х=2:
(4+4)/(2+4) = 8/(2+4)
8/6 = 8/6 - верно
Ответ: х=2.
б). 10/х =7-х
Домножим на х обе части уравнения:
10 = х(7-х)
10 = 7х -х²
х²-7х+10 = 0
D=49-4*10=9 >0 ⇒ 2 корня
х₁= (7+3)/2 =10/2 =5
х₂= (7-3)/2 = 4/2 = 2
Однако надо, чтобы х≠0, т.к это знаменатеоь, а на ноль делить нельзя. Оба корня удовлетворяют этому условию, значит, оба являются решениями.
Проверка:
х=5:
10/5 = 7-5
2=2 -верно
х=2:
10/2 = 7-2
5=5 - верно
Ответ: х₁=5, х₂=2.
в). (х+3)/х = (2х+10)/(х-3)
х≠0 - т.к. знаменатель не может быть 0
х - 3≠0 ⇒ х≠3 т.к. знаменатель не может быть 0
(х+3)(х-3) = х(2х+10)
х²-9 = 2х²+10х
х²+10х+9 = 0
D=100-4*9=100-36=64>0 ⇒ 2 корня
х₁= (-10+8)/2 =-2/2 =-1
х₂= (-10-8)/2 = -18/2 = -9
Берем оба корня.
Проверка:
х = - 1:
(-1+3)/(-1) = (-2+10)/(-1-3)
-2 = -8/4
-2=-2 - верно
х = - 9:
(-9+3)/(-9) = (-18+10)/(-9-3)
6/9 = 8/12
2/3 = 2/3 - верно
Ответ: х₁=-1, х₂=-9.
5).
а). (х²-8х)/(5-х) = 15/(х-5)
(х²-8х)/(5-х) = -15/(5-х)
5-х≠0 ⇒ х ≠5
Домножим обе части уравнения на (х-5)
(х²-8х) = -15
х²-8х+15=0
D=64-60=4>0 ⇒ 2 корня
х₁= (8+2)/2 =10/2 =5 - не берем, тк. не удовлетворяет условию: х ≠5
х₂= (8-2)/2 = 6/2 = 3
Проверяем:
х=3:
(9-24)/(5-3) = 15/(3-5)
-15/2 = -15/2 - верно.
Ответ: х=3.
б). (2х²+х-1)/(х+1) = 3х+1
х+1≠0 ⇒ х≠ -1
Домножим на (х+1):
(2х²+х-1) = (3х+1)(х+1)
2х²+х-1 = 3х²+х+3х+1
х²+3х+2=0
D = 9-8=1 ⇒ 2 корня
х₁= (-3+1)/2 =-2/2 =-1 - не берем, тк. не удовлетворяет условию: х ≠ -1
х₂= (-3-1)/2 = -4/2 = -2
Проверяем:
х= -2:
(8-2-1)/(-2+1) = -6+1
-5 = -5 -верно
Ответ: х= -2.
в). (3х+1)/х + 5/(х-2) = (6х-2)/(х²-2х)
(3х+1)/х + 5/(х-2) = (6х-2)/(х(х-2))
Приведем к общему знаменателю х(х-2) левую часть уравнения:
((3х+1)(х-2))/(х(х-2)) + 5х/(х(х-2)) = (6х-2)/(х(х-2))
х(х-2)≠0 ⇒х≠0 и х≠2
Домножаем на х(х-2) обе части уравнения:
(3х+1)(х-2) + 5х = 6х-2
3х²+х-6х-2+5х = 6х-2
3х² -2 = 6х-2
3х² -6х -2 +2 =0
3х² -6х =0
х(3х-6)=0
х=0 и 3х-6=0
3х=6
х=6 : 3
х=2
Получили 2 корня:
х₁ = 0 - но он не удовлетворяет условию х≠0 ⇒ не является решением
х₂ = 2 - но он не удовлетворяет условию х≠2 ⇒ не является решением
Ответ: решений нет.