Окончание здесь "о", потому что слово можно изменить так: гнездышках, гнездышек (окончание хорошо определяется, если начать склонять существительное по падежам).
ышк - это такой суффикс существительного.
И гнезд - это корень.
Основа у данного слова будет гнездышк.