Доказать Теорему Чевы. Помогите, пожалуйста

Question

Доказать Теорему Чевы. Помогите, пожалуйста

---

Comments

Я не уловил смысла. 1) Вы лично знаете теорему Чевы и её следствие - теорему Ван-Обеля? 2) Правильно ли я понял, что надо доказать соотношение в рамочке? 3) На рисунке BD перпендикулярно AC. Это имеет значение, или просто так нарисовано?

Answer 1

Стандартное доказательство теорем Чевы и Ван-Обеля такое. Через вершину A (все равно какую, это не принципиально) проводится прямая параллельно BC, прямые CC1 и BB1 продолжаются до пересечения с этой прямой в точках C2 и B2 соответственно.
Получается целая куча подобных треугольников, из которых получаются следующие пропорции.
Из подобия ΔAC1C2 и ΔBCC1
AC1/BC1 = AC2/BC;        (1)
Из подобия ΔAB1B2 и ΔBCB1
AB1/CB1 = AB2/BC;        (2)
Из подобия ΔAC2K и ΔA1CK
AC2/CA1 = AK/KA1;        (3)
Из подобия ΔAB2K и ΔA1BK
AB2/BA1 = AK/KA1;        (4)
Если два последних равенства (3) и (4) поделить друг на друга, получится
AC2/AB2 = CA1/BA1;
Из первых двух равенств (1) и (2) получается
(AC1/BC1)*(CB1/AB1) = AC2/AB2 = (как только что показано) = CA1/BA1;
Отсюда получается теорема Чевы
(AC1*BA1*CB1)/(AB1*CA1*BC1) = 1;      (5)
то есть если AA1; BB1 и CC1 пересекаются в одной точке K, то выполнено соотношение (5). Но это еще не все, что можно получить.
Из (3) и (4) получается
AC2 = (AK/KA1)*CA1; AB2 = (AK/KA1)*BA1;
то есть B2C2 = (AK/KA1)*(CA1 + BA1) = (AK/KA1)*BC;
или B2C2/BC = AK/KA1;
Если сложить (1) и (2), получится
AC1/BC1 + AB1/CB1 = (AC2 + AB2)/BC = B2C2/BC;
получилась теорема Ван-Обеля
AK/KA1 = AC1/BC1 + AB1/CB1; (6)

Теперь решение задачи. Я перехожу от общепринятых обозначений к обозначениям на чертеже автора. Пусть N - точка пересечения CF и AB;
Из (5)
(AD/DC)*(CE/EB)*(BN/AN) = 1;
из (6)
AF/FE = AN/BN + AD/DС;
то есть AF/FE = (AD/DC)*(CE/EB) + AD/DC = (AD/DC)*(1 + CE/EB); что и требовалось.

---

Comments

Разумеется, есть и ОБРАТНАЯ теорема Чевы, которая утверждает, что ЕСЛИ выполнено (5), ТО AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказывается она от противного - предполагается, что они НЕ пересекаются в одной точке, но (5) выполнено. Тогда можно указать еще прямую AA2 которая проходит через точку пересечения BB1 и CC1. Для A2 (5) тоже выполнено, откуда получается, что A1 и A2 совпадают. Что противоречит предположению, что AA1 и AA2 - разные прямые. Это доказывает обратную теорему Чевы.

---

Немного раньше я приводил другое доказательство ТЧ, через площади 6 треугольников, на которые чевианы делят исходный.