Объясните,почему наибольший общий делитель двух чисел: а)не может быть больше одного из этих чисел б) делится на все общие делители этих чисел.Заранее спасибо
Оба числа делятся на НОД - значит они его больше. НОД равен произведению всех простых общих делителей - значит он делится на любое произведение этих простых делителей, т.е. любой общий делитель.
Нет, это неправильно. Нод не равен произведению всех общих делителей. Например. Нод(4,8)=4. А произведение всех общих делителей 1*2*4=8.
Спасибо, я что -то вообще не про то ответил, про что спрашивали. Поправил.)
Тоже не совсем точно. Вот опять возьмем НОД(4,8). Какие здесь "все простые общие делители"?
2 простой делитель кратности 2. Т.е 2 простых делителя 2 и еще раз 2 ( не считая 1, конечно)).
Ну, так и надо писать, что с учетом кратностей. Но тогда каких именно кратностей, у нас ведь два разных числа. и в каждом простое со своей кратностью? А то 2 и 2 это ведь один и тот же простой делитель.
Допустим спрашивается "сколько делителей у числа 4" - ответ: "3 делителя, 1,2 и 4". Спрашивается "сколько из них простых". Ответ: "один простой делитель - двойка". Мы ведь не говорим что у четверки два простых делителя.
Почему же не говорим, говорим, что 3 : 1,2 и 2. А не говорим, что 3 разных простых делителя!
Нет. Количество делителей - это одна характеристика - каждый делитель учитывается по одному разу. Фраза "простые делители" подразумевает те из делителей, которые являются простыми. По вашему надо говорить, что у числа 4 имеется 4 делителя: 1, 2, 2 и само 4.
Я потому и не стал писать эту задачу, что для нормального решения школьными методами полностью выписать разложение на простые у обоих чисел, выписать как выглядит НОД, как выглядит любой общий делитель и после этого сослаться на единственность разложения на простые.
а не совсем школьными можно написать очень короткое решение. Если знать такой факт, что для любых целых чисел а и b существуют числа u и v, такие что au+bv=НОД(а,b). Поэтому если любой общий делитель чисел а и b, делит их НОД,