2sin^2+2sin(x+pi/3)=sinx-1

$2\sin^2x+2\sin(x+ \frac{\pi}{3} )=\sin x-1\\ 2\sin^2x+2(\sin x\cos \frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3})=\sin x-1\\ 2\sin^2x+2( \frac{1}{2}\sin x+ \frac{ \sqrt{3} }{2}\cos x)=\sin x-1\\ 2\sin^2x+\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sin x-1 \\ 2\sin^2x+\sqrt{3}\cos x+1=0 \\ 2-2\cos^2x+\sqrt{3}\cos x+1=0 \\ 2\cos^2x-\sqrt{3}\cos x-3=0$

пусть cos x = t причем |t|≤1, имеем
2t²-√3t-3=0
D=b²-4ac=3+24=27; √D=3√3
t1=(√3-3√3)/4=-√3/2
t2=(√3+3√3)/4=√3 - не удовлетворяет условие при |t|≤1

Обратная замена
$\cos x=- \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x=\pm \frac{5\pi}{6}+2 \pi n,n \in Z$