Наверное - вводное слово, обозначающее сомнение.
Предложение можно перефразировать, не меняя смысла, примерно так: Может быть, в тот момент я немного повзрослел.
Что касается смыслового значения: Наверное, я набрал определенное количество жизненного опыта, так что мне показалось, будто я повзрослел.