Корень (х+3) - корень(7-х)=2

Question 1

Question 2

Первый способ
$\sqrt{x+3}-\sqrt{7-x}=2$
ОДЗ
$x+3 \geq 0; 7- x \geq 0$
$x \geq -3; 7 \geq x$
$7 \geq x \geq -3$
$-3 \leq x \leq 7$

вводим замену
$\sqrt{x+3}=a \geq 0; \sqrt{7-x}=b \geq 0$
тогда
$a^2+b^2=(x+3)+(7-x)=x+3+7-x=10$
$a-b=2$
$a=b+2$
$(b+2)^2+b^2=10$
$b^2+4b+4+b^2=10$
$2b^2+4b-6=0$
$b^2+2b-3=0$
$(b+3)(b-1)=0$
$b+3=0;b_1=-3<0$ - не подходит
$b-1=0;b_2=1;$
$b=1$
Возвращаемся к замене
$7-x=b^2$
$x=7-b^2$
$x=7-1^2=6$
проверкой можно убедиться что найденный корень подходит
ответ: 6

второй способ
$\sqrt{x+3}-\sqrt{7-x}=2$
ОДЗ
$-3 \leq x \leq 7$
подносим к квадрату
$x+3-2\sqrt{(x+3)(7-x)}+7-x=4$
$-2\sqrt{-x^2+4x+21}=-6$
$\sqrt{-x^2+4x+21}=3$
$-x^2+4x+21=9$
$-x^2+4x+12=0$
$x^2-4x-12=0$
$(x-6)(x+2)=0$
$x-6=0;x_1=6$
$x+2=0;x_2=-2$
проверкой убеждаемся что -2 -- сторонний корень
ответ: 6

dtnth_zn · Answer 1 · 2018-04-02T18:24:23+0000

Первый способ
$\sqrt{x+3}-\sqrt{7-x}=2$
ОДЗ
$x+3 \geq 0; 7- x \geq 0$
$x \geq -3; 7 \geq x$
$7 \geq x \geq -3$
$-3 \leq x \leq 7$

вводим замену
$\sqrt{x+3}=a \geq 0; \sqrt{7-x}=b \geq 0$
тогда
$a^2+b^2=(x+3)+(7-x)=x+3+7-x=10$
$a-b=2$
$a=b+2$
$(b+2)^2+b^2=10$
$b^2+4b+4+b^2=10$
$2b^2+4b-6=0$
$b^2+2b-3=0$
$(b+3)(b-1)=0$
$b+3=0;b_1=-3<0$ - не подходит
$b-1=0;b_2=1;$
$b=1$
Возвращаемся к замене
$7-x=b^2$
$x=7-b^2$
$x=7-1^2=6$
проверкой можно убедиться что найденный корень подходит
ответ: 6

второй способ
$\sqrt{x+3}-\sqrt{7-x}=2$
ОДЗ
$-3 \leq x \leq 7$
подносим к квадрату
$x+3-2\sqrt{(x+3)(7-x)}+7-x=4$
$-2\sqrt{-x^2+4x+21}=-6$
$\sqrt{-x^2+4x+21}=3$
$-x^2+4x+21=9$
$-x^2+4x+12=0$
$x^2-4x-12=0$
$(x-6)(x+2)=0$
$x-6=0;x_1=6$
$x+2=0;x_2=-2$
проверкой убеждаемся что -2 -- сторонний корень
ответ: 6