В треугольнике ВЕС проведены биссектриса ВК и отрезок СМ ( М ∈ ВЕ), причем МК||ВС, ЕМ=ЕК. Докажите, что СМ - биссектриса треугольника ВЕС.
В треугольнике МЕК стороны ЕМ=ЕК, следовательно, треугольник равнобедренный и углы при его основании МК равны.
КМ||ВС, ЕВ и ЕС секущие при одних и тех же параллельных прямых, ⇒ углы при основаниях треугольников МЕК и ВЕС равны как соответственные. ⇒
треугольник ВЕС равнобедренный, а четырехугольник ВМКС - равнобедренная трапеция.
∠ МВК=∠ КВС ( ВК- биссектриса). ∠ МКВ=углу КВС - накрестлежащие. Треугольник МАК - равнобедренный. ∠ КМС=∠ МСВ как накрестлежащие. Но ∠ МСВ - половина ∠ ЕСВ, т.к. равен углу МКВ, половине равного ему угла ЕВС. Следовательно, ∠ МСВ= ∠ МСК и СМ - биссектриса, ч.т.д. -----
В треугольнике АВС сторона АВ равна 16, отрезки АК и ВМ являются высотами треугольника. Угол С равен 105°. Найдите площадь треугольника МРК, если Р - середина стороны АВ.
Треугольники АМВ и АКВ - прямоугольные по построению.
В⊿ АВМ отрезок МР - медиана к гипотенузе АВ.
В ⊿ АКВ отрезок КР - медиана к гипотенузе АВ.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
РК=РМ=АВ:2=R=
8
Угол С=105° и является внешним для треугольника ВМС.
Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Т.к. угол ВМС=90°, угол СВМ=105°- 90°=15°
Опишем вокруг четырехугольника АВКР окружность радиуса R=РК=РМ
Вписанный ∠ КВМ опирается на хорду КМ, ⇒
центральный ∠ КРМ, опирающийся на ту же хорду, вдвое больше ∠ КВМ,
∠ КРМ=15°*2=30°
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон, умноженной на синус угла между ними.
S ∆ КВМ= 0,5*РК*РМ*sin (30°)S ∆ KBM=0,5*64*0,5=16 (ед. площади)
