В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC, и AC в точках P,Q и K...

Question

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC, и AC в точках P,Q и K соответственно. Известно, что BK - медиана треугольника. Докажите, что прямые PQ и BK перпендикулярны.
Внизу есть примерный чертёж!
Даю 38 баллов только за правильное и подробное доказательство.

---

Comments

жди)

---

хорошо

---

из того, что K - середина AC, сразу следует AB = BC; и BK перпендикулярно AC; кроме того, PQ II AC; так как BP = BQ; всё;

---

К- не середина АС. В условии этого нет.

---

ВК - медиана, значит К - середина АС

---

Прости

---

ничего)

Answer 1

Сos20093  совершенно прав, но
Поскольку в геометрии не должно быть ничего очевидного, кроме аксиом, надо все доказать.
1. АК=КС, так как ВК - медиана (дано).
2. АК=АР и КС=QC, как касательные к окружности из одной точки.
3. ВР=ВQ по той же причине.
4. Из (2) и (3) АВ=ВС (АВ=АР+РВ, ВС=СQ+QB. => треугольник
АВС равнобедренный и по его свойствам ВК - медиана и высота треугольника.  =>  ВК ⊥ АС.
5. Треугольники АВС и РВQ равнобедренные и подобные, так как
PQ||АС. и в следствие (4) ВК⊥АС, что и требовалось доказать.