Решите уравнение. Решение как можно подробнее

$\frac{12}{(x+1)(x+5)} + \frac{15}{(x+2)(x+4)} =2$

ОДЗ:
$x+1 \neq 0$    $x \neq -1$
$x+5 \neq 0$    $x \neq -5$
$x+2 \neq 0$    $x \neq -2$
$x+4 \neq 0$    $x \neq -4$

$\frac{12}{x^2+5x+x+5} + \frac{15}{x^2+4x+2x+8} =2$

$\frac{12}{x^2+6x+5} + \frac{15}{x^2+6x+8} =2$

Замена: $x^2+6x+5=t$

$\frac{12}{t} + \frac{15}{t+3} =2$

$\frac{12(t+3)+15t-2t(t+3)}{t(t+3)} =0$

$t \neq 0,$    $t \neq -3$

$12(t+3)+15t-2t(t+3)=0$

$12t+36+15t-2t^2-6t=0$

$-2t^2+21t+36=0$

$2t^2-21t-36=0$
$D=(-21)^2-4*2*(-36)=441+288=729=27^2$
$t_1=12$
$t_2=-1.5$

$x^{2} +6x+5=12$ или    $x^{2} +6x+5=-1,5$

$x^{2} +6x-7=0$ или    $x^{2} +6x+6,5=0$

$D=36+28=64$ или    $D=36-26=10$

$x_1=1$ или    $x_1= \frac{-6+\sqrt{10} }{2}$
$x_2=-7$ или    $x_2=\frac{-6- \sqrt{10} }{2}$

Ответ: $-7;1$ ; $\frac{-6+ \sqrt{10} }{2}$ ; $\frac{-6- \sqrt{10} }{2}$