1)В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом α и прилежащим к нему...

Question

1)В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом α и прилежащим к нему углом β. Найдите объем пирамиды, если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α. Рассмотрите случаи, когда α=6 см, α= 30°, β= 60°.
2)В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 2α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол β. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен R. Проведите вычисления при R=10см, α=60°, β=30°.
3)Докажите, что в правильной треугольной пирамиде FABC боковое ребро BF перпендикулярно к стороне AC основания пирамиды.
Пожалуйста помогите!

Answer 1

Дано: < C =90° ; CB =a =6 см ; S _ вершина пирамиды  SO ┴ (ABC) , O∈(ABC).
------- --------------------------------------------------------------------------------------------------
V =1/3*S(ABC) *SO ---> ?
Если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом (в данном случае α =30° )   ,  то высота  пирамиды проходит через центр окружности , описанного около основания  . Здесь  этот центр O  середина  гипотенузы .
BA = BC/cosβ = a/cosβ ;
S(ABC) =1/2*BA*BC*sinβ = 1/2*a/cosβ*a*sinβ =1/2*a²*tqβ .
***   или S(ABC) =1/2*AC*BC =1/2*a*atqβ =1/2*a²*tqβ ***
SO = OB*tqα = 1/2*BA*tqα =1/2*a/cosβ*tqα ;
V =1/3*S(ABC) *SO = 1/3*1/2*a²*tqβ *1/2*a/cosβ*tqα  ;
V = (1/12)a³*tqβ*tqα/cosβ .                        ***1/12*a³*sinβ*tqα/cos²β ***

При   a =6 см ; β =60° ; α =30°  получится :
V= (1/12)a³*tqβ*tqα/cosβ =(1/12)*6³*tq60°*tq30°/cos60°  =(1/12)*6³ *2=36 (см³) .
**********************************************************************************************
2)   R =OA =OB = 10 см  ;  (ABB₁A₁) | | OO₁
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
S(ABB₁A₁) ---> ?
ABB₁A₁  прямоугольник .
S = S(ABB₁A₁) = AB*BB₁ =AB*H ;  AB _хорда на нижней основ;
Из    ΔAOB :      AB=2*(Rsinα) .
H = Rtqβ ;
S =AB*H=2*Rsinα*Rtqβ =2R²sinα*tqβ .
при  R =10 см  ,  α =60° ,   β =30° получится :
S  =2R²sinα*tqβ  =2*10²sin60°*tq30° =  2*10²*√3/2*1/√3 = 100 (см²) .
3) Дано: правильная пирамида FABC ,  F_вершина .
   -------------------------------------------------------------------------
Доказать BF ┴ AC .
Пусть  FO  ┴  (ABC) , где  O основание  высоты  FO, т.е.  BO  проекция ребра  BF на плоскость  треугольника ABC . 
AC ┴ BM      [  BM  высота (медиана , биссектриса)  ] ⇒AC  ┴  BO    ⇒AC ┴ BF (теорема трех перпендикуляров) .