Решите задачу.Разница катетов равна 10 см, а длина описанного круга равна 50 см. Найдите...

Обозначим катеты через а и b, а гипотенузу - с.
$C=2 \pi R$ - длина опписанного круга. R - средина гипотенузы, тоесть гипотенуза является диаметром круга и равен он c=2R
Вычислим радиус описанной окружности
$R= \frac{C}{2 \pi } = \frac{50 \pi }{2 \pi } =25$ откуда гипотенуза с = 2R=50 см.
По т. Пифагора
$50^2=a^2+b^2$
По условию: $a-b=10$
Составим систему уравнений
$\begin{cases} & \text{ } c^2=a^2+b^2 \\ & \text{ } a-b=10 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } 50^2=(10+b)^2+b^2 \\ & \text{ } a=10+b \end{cases}$
$100+20b+b^2+b^2=2500\\ 2b^2+20b-2400=0|:2\\ b^2+10b-1200=0$
По т. Виета: $\begin{cases} & \text{ } b_1+b_2= \frac{-b}{a}=-10 \\ & \text{ } b_1\cdot b_2= \frac{c}{a}=-1200 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } b_1=-40 \\ & \text{ } b_2=30 \end{cases}$
b = - 40 посторонний корень.
$a_2=30+10=40$ см

Площадь прямоугольного треугольника :
$S= \dfrac{40\cdot 30}{2}=600$ см²

Окончательный ответ: 600 см²