Здесь нет проверочного слова,это сложное слово с соединительной гласной "о".В этом слове объединены два других: долгий и рука.Из слова "долгий" взяли за основную часть "долг",а в слове рука "рук",между ними поставили соединительную гласную "о" и добавили окончание "ий"