X в3 степени плюс 64 разложить

Question 1

Question 2

$\displaystyle x^3+64$ — полином третьей степени; тогда по основной теореме алгебры имеется три таких $\displaystyle x$ , называемых корнями полинома, что $\displaystyle x^3+64=0$ , и тогда этот полином можно записать в форме $\displaystyle (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ , где $\displaystyle \alpha,\,\beta,\,\gamma$ — корни этого полинома. Остаётся решить уравнение:
$\displaystyle x^3+64=0;$

$\displaystyle x^3=-64=64e^{i\pi+\tau ik},\,k\in\mathh{Z};$

$\displaystyle x=\sqrt[3]{64}e^{\frac{i\pi+\tau ik}{3}}=4\left(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\right)e^{\tau ik/3}=$

$\displaystyle \phantom{x}=\left(2+i2\sqrt{3}\right)e^{\tau ik/3},\,k\in\left\{0,1,2\right\};$

$\displaystyle \alpha=2+i2\sqrt{3};$

$\displaystyle \beta=\left(2+i2\sqrt{3}\right)\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}-i\sqrt{3}+i^2\sqrt{3}^2=-1-3=-4;$

$\displaystyle \gamma=\left(2+i2\sqrt{3}\right)\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i\sqrt{3}-i\sqrt{3}-i^2\sqrt{3}^2=-1+3-i2\sqrt{3}=$

$\displaystyle =2-i2\sqrt{3}.$

Тогда:
$\displaystyle\therefore x^3+64=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=\boxed{\left(x-2-2\sqrt{3}i\right)\left(x+4\right)\left(x-2+2\sqrt{3}i\right)}\phantom{.}.$

Question 3

X^3+64=(x+4)(x^2-4x+16)

vendor_zn · Answer 1 · 2018-04-02T12:57:41+0000

$\displaystyle x^3+64$ — полином третьей степени; тогда по основной теореме алгебры имеется три таких $\displaystyle x$ , называемых корнями полинома, что $\displaystyle x^3+64=0$ , и тогда этот полином можно записать в форме $\displaystyle (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ , где $\displaystyle \alpha,\,\beta,\,\gamma$ — корни этого полинома. Остаётся решить уравнение:
$\displaystyle x^3+64=0;$

$\displaystyle x^3=-64=64e^{i\pi+\tau ik},\,k\in\mathh{Z};$

$\displaystyle x=\sqrt[3]{64}e^{\frac{i\pi+\tau ik}{3}}=4\left(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\right)e^{\tau ik/3}=$

$\displaystyle \phantom{x}=\left(2+i2\sqrt{3}\right)e^{\tau ik/3},\,k\in\left\{0,1,2\right\};$

$\displaystyle \alpha=2+i2\sqrt{3};$

$\displaystyle \beta=\left(2+i2\sqrt{3}\right)\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}-i\sqrt{3}+i^2\sqrt{3}^2=-1-3=-4;$

$\displaystyle \gamma=\left(2+i2\sqrt{3}\right)\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i\sqrt{3}-i\sqrt{3}-i^2\sqrt{3}^2=-1+3-i2\sqrt{3}=$

$\displaystyle =2-i2\sqrt{3}.$

Тогда:
$\displaystyle\therefore x^3+64=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=\boxed{\left(x-2-2\sqrt{3}i\right)\left(x+4\right)\left(x-2+2\sqrt{3}i\right)}\phantom{.}.$