Пусть альфа и бета решение уравнения x^2-x+4=0 Тогда бета/альфа+альфа/бета=?

0 голосов
21 просмотров

Пусть альфа и бета решение уравнения x^2-x+4=0
Тогда бета/альфа+альфа/бета=?

Математика (20 баллов) | 21 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

По теореме Виета:
\displaystyle \alpha + \beta=-b;
\displaystyle \alpha\beta=c.

Разделим первую строчку на вторую:
\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}=-\frac{b}{c};
\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha\beta}+\frac{\beta}{\alpha\beta}=-\frac{b}{c};
\displaystyle \frac{1}{\beta}+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{c};

Последнее равенство умножим на \displaystyle \beta и отнимем единицу:
\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}=-\frac{b}{c}\beta-1;

Отдельно то же самое равенство умножим на \displaystyle \alpha и отнимем единицу:
\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\alpha-1;

Сложим последние два равенства:
\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\beta-1-\frac{b}{c}\alpha-1;

В правой части вынесем \displaystyle -\frac{b}{c} за скобки:
\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\left(\alpha+\beta\right)-2;

А по уже приведённой теореме Виета, \displaystyle \alpha+\beta=-b:
\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\left(-b\right)-2;
\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\boxed{\frac{b^2}{c}-2}\phantom{.}.

Обратим внимание, что приведённое равенство справедливо для любого квадратного уравнения вида \displaystyle ax^2+bx+c=0, где \displaystyle \alpha и \displaystyle \beta — его корни.

Наконец, подставим в полученное равенство значения \displaystyle a, \displaystyle b и \displaystyle c из данного уравнения:
\displaystyle a=1;
\displaystyle b=-1;
\displaystyle c=4;
\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{b^2}{c}-2=\frac{\left(-1\right)^2}{4}-2=\frac{1}{4}-\frac{8}{4}=\boxed{-\frac{7}{4}}\phantom{.}.

Обратите внимание, однако, что для нахождения величины \displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta} решать исходное уравнение (находить численные значения \displaystyle \alpha и \displaystyle \beta) не пришлось вовсе, что весьма интересно.

(616 баллов)
Похожие задачи