Решите уравнение 4sin^2(2x+pi/3)=1

Question

Решите уравнение 4sin^2(2x+pi/3)=1

Answer 1

4sin^2(2x+pi/3)=1

sin^2(2x+pi/3)=1/4

Пусть 2x+pi/3=t

sin^2t=1/4

sint=+-1/2

1)sint=-1/2

t=-pi/6+2pik . k=z

t=-5pi/6+2pik . k=z

2)sint=1/2

t=pi/6+2pik . k=z

t=5pi/6+2pik . k=z

 

Найдем x:

1)2x+pi/3=-pi/6+2pik

2x=-pi/2+2pik

x=-pi/4+pik

2)2x+pi/3=-5pi/6+2pik

2x=-11pi/6+2pik

x=-11pi/12+pik

3)2x+pi/3=pi/6+2pik

2x=-pi/6+2pik

x=-pi/12+pik

4)2x+pi/3=5pi/6+2pik

2x=pi/6+2pik

x=pi/12+pik

Объеденим решения: x=-pi/12+pik/2 ; x=-pi/4+pik/2

Answer 2

4sin^2(2x+pi/3)=1

sin^2(2x+pi/3)=1/4

По формуле понижения степени

(1-cos2(2x+pi/3))/2=1/4

1-cos2(2x+pi/3)=1/2

cos2(2x+pi/3)=1/2

Новая переменная

2x+pi/3=t

cos2t=1/2

2t1=pi/6+2piK; t1=pi/12+piK

2t2=-pi/6+2piK   t2= -pi/12+piK

 

Решаем для t1

2x+pi/3=pi/12+piK

2x=pi/12-pi/3+piK

2x=-pi/4+piK

x=-pi/8+piK/2

 

Решаем для t2

 2x+pi/3= -pi/12+piK

2x= -5pi/12+piK

x= -5pi/24+piK/2