Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами тупых углов и в точке пересечения...

Question

Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами тупых углов и в точке
пересечения делятся в отношении 3:13 , считая от вершин тупых углов. Вычислите
периметр трапеции, если ее высота равна 48 см

Comments

трапеция очевидно подобна трапеции со сторонами 13 13 13 3, это жесткая конструкция. высота её равна 12, а в задаче 48, значит это трапеция 52, 52, 52, 12 периметр 168

Answer 1

Из условия,что диагонали являются биссектрисами тупых углов, следует, что боковые стороны равны основанию - углы между диагональю и боковой стороной и нижним основанием равны.
Обозначим верхнее основание за х. Тогда из подобия треугольников нижнее основание и боковые стороны равны L = 13х / 3 (это следует из пропорции x / 3 = L / 13).
Если из вершины тупого угла опустить перпендикуляр на нижнее основание, то получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это боковая сторона трапеции, один катет - это высота Н, а второй
равен ((13х/3) - х) / 2 = 5х / 3.
По Пифагору 48² = (13х / 3)² - (5х/3)².
48² = 169х² / 9 - 25х² / 9 = 144х² / 9.
Отсюда х =√(48²*3² / 12²) = 12 см - это длина верхнего основания.
Остальные стороны равны 13*12 / 3 = 52 см.
Периметр трапеции равен 12 + 52*3 = 168 см.

Answer 2

Пусть AD | | BC ;AB=CD ; B и D тупые  углы трапеции.

Для удобства обозначаем AD=a ;   BC =b ;  BE⊥A D,  E ∈ [AD] ,BE=48 см .
AE =(a-b)/2 =(a -3a/13)/2 = 5a/13.  (ΔCOB  подобен ΔAOD   CB/AD=CO/AO).
Из ΔAEB : по теореме Пифагора √(AB² -AE)² = BE ;
√(a² -(5a/13)²) =48 см  ;
12a/13 =48 ⇔a/13 =4    * * * ⇒a =52 (см ) ; b =3a/13 =3*52/13 =12 (см) . * * *
Периметр трапеции : P= AD +2AB  +BC = a+2a + 3a/13 =3*14*a/13 =3*14*4=168 (см) .
ответ: 168 см .