упростите при всех допустимых значениях переменной x: √2x+3√x -2/2+√x : 3-√x/5√x -2x+3...

Выполнив деление получим:

$\frac{(2x + 3\sqrt{x} - 2)(5\sqrt{x} - 2x + 3)}{(2 + \sqrt{x})(3 - \sqrt{x})} - 4x$

Введём замену. Пусть $\sqrt{x}$ = t ≥ 0, тогда x = $t^{2}$ .

Перепишем данное выражение с учётом замены. Получим:

$\frac{(2t^{2} + 3t - 2)(5t - 2t^{2} + 3)}{(2 + t)(3 - t)} - 4x$

Найдём корни всех квадратных трёхчленов в числителе и разложим их на множители:

$2t^{2} + 3t - 2 = 0 \\ D = b^{2} - 4ac = 9 + 16 = 25 \\ x1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \\ x2 = \frac{-3+5}{4} = 0.5 \\ \\$

Разложение будет иметь вид: 2(t + 2)(t - 0.5)

Аналогично поступаем со вторым:

$-2t^{2} + 5t + 3 = 0 \\ D = b^{2} - 4ac = 25 + 24 = 49 \\ x1 = 3; x2 = -0.5$

Разложение имеет вид: -2(t - 3)(t + 0.5)

Подставим вместо трёхчленов их разложения и проведём некторые преобразования, но оговоримся, что поскольку преобразование идёт лишь при допустимых значениях переменных, то t≥0; t≠3:

$\frac{-4(t+2)(t-0.5)(t-3)(t+0.5)}{(2+t)(3-t)} - 4t^{2} = \frac{-4(t-0.5)(t+0.5)(t-3)}{3-t} - 4t^{2} = \frac{4(t^{2} - 0.25)(3-t)}{3 - t} - 4t^2$ \\ = 4t^{2} - 1 - 4t{2} = -1